Simplification of Boolean Expressions

Simplification of Boolean Expressions:
Boolean Expressions are simplified using following two methods:
        1)    Using Laws of Boolean algebra
        2)    Using K-Maps

Simplification using Laws of boolean algebra:

This method is used by keeping few points in mind:

        a)    Take common from all min/ Maxterms in a way that any of the min/ Maxterms is left with 1, so that we can apply property of 1.

Let us understand by this example,

                                    F(A,B,C) = AB'C + AB'+ AB'C'

taking AB' as common,

                                                   = AB'( C + 1 + C' )            (Distributive Law)

now using property of 1 which states that OR of 1 with any input results in 1, we will get the expression as          = AB'(1)                            (Property of 1)

                                                  = AB'                                (Property of 1)

        b)    Take common from 2 min/ Maxterms in a way that both of the min/ Maxterms are left with single and opposite inputs. Let us take an example.

                                    F(A,B,C) = AB'C + A'B'C'+ AB'C'+ABC

                                                   = AB'C + ABC+ A'B'C'+AB'C'    (Commutative Law)

taking common in a way that 2 minterms have single and opposite inputs left

                                                   = AC( B' + B )+ B'C'( A'+A )      (Distributive Law)

                                                   = AC( 1 )+ B'C'( 1 )                   (Complementarity Law)

                                                   = AC + B'C'                               (Property of 1)

        c)    Take common from 2 min/ Maxterms in a way that both of the min/ Maxterms are left with unequal inputs. Let us take an example.

                                    F(A,B,C) = AB'C + AB+ A'BC' + A'B'C'

taking common in above mentioned way

                                                   = A(B'C+B)+ A'C'(B+B')            (Distributive Law)

                                                   = A(B'+B)(C+B)+ A'C'(1)            (Distributive Law)

                                                   = A(1)(C+B)+ A'C'                    (Complementarity Law)

                                                   = A(C+B)+ A'C'                        (Property of 1)

                                                   = AC+AB+ A'C'                        (Property of 1)

        d)    If there are 3 minterms having 2 inputs each and nothing is common then those minterms which have 1 input having both assertion and negation form will remain while 3rd term will be reduced by converting it to canonical form. Let us take an example.

                                    F(A,B,C) = AB+BC+A'C

since input A has both assertion and negation form, we will convert the term which does not have input A, i.e. BC to its canonical form.

                                     F(A,B,C) = AB+BC+A'C

                                                    = AB+BC.1+A'C                        (Property of 1)

                                                    = AB+BC(A+A')+A'C                (Complementarity Law)

                                                    = AB+ABC+A'BC+A'C              (Distributive Law)

                                                    = AB(1+C)+A'C(B+1)               (Distributive Law)

                                                    = AB(1)+A'C(1)                        (Property of 1)

                                                    = AB+A'C                                 (Property of 1)